Definice a konstrukce
Pravidelný šestiúhelník je planární postava, která má šest stran stejné délky a stejných úhlů.
Pokud si vzpomeneme vzorec pro součet úhlů mnohoúhelníku
180 ° (n-2),
Ukazuje se, že na tomto obrázku se rovná 720 °. Protože všechny úhly obrázku jsou stejné, je snadné spočítat, že každý z nich je roven 120 °.
Kreslení šestiúhelníku je velmi jednoduché, protože je to dost kompasů a pravítek.
Postupné pokyny budou vypadat takto:
nakreslí se přímka a na ní se vloží tečka;- kruh je vytvořen od tohoto bodu (to je jeho centrum);
- další dvě z nich jsou postaveny z průsečíku kruhu s přímkou, musí se sbíhat ve středu.
- poté jsou všechny body na prvním kruhu spojeny v sériích podle segmentů.
Pokud si přejete, můžete to udělat bez čáry nakreslením pěti stejných kruhů podél poloměru.
Takto získaná číslice bude pravidelným šestiúhelníkem, což lze prokázat níže.
Vlastnosti jsou jednoduché a zajímavé.
Pro pochopení vlastností pravidelného šestiúhelníku má smysl rozdělit jej do šesti trojúhelníků:
To pomůže dále vizualizovat jeho vlastnosti, z nichž hlavní jsou:
- průměr ohraničené kružnice;
- průměr vepsaného kruhu;
- oblasti;
- obvod.
Ohraničený kruh a možnost konstrukce
Můžete popsat kruh kolem šestiúhelníku a navíc pouze jeden. Vzhledem k tomu, že toto číslo je správné, lze to udělat celkem jednoduše: ze dvou sousedních rohů, držte uvnitř bisectoru. Protínají se v bodě O a tvoří trojúhelník spolu se stranou mezi nimi.
Úhly mezi šestihrannou stranou a osami budou vždy 60 °, takže můžete určitě říci, že trojúhelník, například AOB, je rovnoramenný. A protože třetí úhel bude roven 60 °, je také rovnostranný. Z toho vyplývá, že segmenty OA a OB jsou stejné, což znamená, že mohou sloužit jako poloměr kruhu.
Poté můžete přejít na další stranu a od rohu v bodě C také nakreslit čáru. Získáte další rovnostranný trojúhelník a strana AB bude společná pro dva najednou a OS bude dalším poloměrem, kterým prochází stejný kruh. V souhrnu bude šest takových trojúhelníků a budou mít společný vrchol v bodě O. Ukazuje se, že bude možné popsat kruh, a to je pouze jeden, a jeho poloměr je roven šestihranné straně:
R = a .
Proto je možné postavit tuto postavu s kompasem a pravítkem.
Oblast tohoto kruhu bude standardní:
S = πR²
Vepsaný kruh
Střed ohraničeného kruhu se bude shodovat se středem vepsaného. Pro ověření tohoto stavu je možné nakreslit kolmice z bodu O do stran šestiúhelníku. Budou to výšky trojúhelníků, které tvoří šestiúhelník. V rovnoramenném trojúhelníku je výška středem strany, na které spočívá. Tato výška tedy není nic jiného než střední kolmice, což je poloměr vepsaného kruhu.
Výška rovnostranného trojúhelníku se jednoduše vypočítá:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2
A protože R = a r = h, ukazuje se, že
r = R (~ 3) / 2 .
Takto popsaná kružnice prochází středy stran pravidelného šestiúhelníku.
Jeho plocha bude:
S = 3πa² / 4,
tj. tři čtvrtiny popsaného.
Obvod a plocha
Z obvodu je vše jasné, to je součet délek stran:
P = 6a, nebo P = 6R
Oblast se však bude rovnat součtu všech šesti trojúhelníků, do kterých může být šestiúhelník rozdělen. Vzhledem k tomu, že plocha trojúhelníku je vypočtena jako polovina produktu základny výškou, pak:
S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 nebo
S = 3R² (√3) / 2
Ti, kteří chtějí tuto oblast vypočítat poloměrem kružnice, mohou být provedeni takto:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
Zábavná stavba
Trojúhelník může být vložen do hexu, jehož strany spojí vrcholy přes jednoho:
Celkem jich budou dva, a jejich uložení na sebe dá Davidovu hvězdu. Každý z těchto trojúhelníků je rovnostranný. To není těžké ověřit. Když se podíváte na stranu AU, pak patří najednou ke dvěma trojúhelníkům - YOU a AES. Pokud je v prvním z nich AB = BC a úhel mezi nimi je 120 °, pak každý zbytek bude 30 °. Odtud můžete učinit logické závěry:
- Výška ABC od vrcholu B bude rovna polovině strany šestiúhelníku, protože sin30 ° = 1/2. Ti, kteří si to přejí být přesvědčeni, mohou být poučeni, aby přepočítali podle Pythagoreanovy věty, perfektně se zde hodí.
- Strana AC bude rovna dvěma poloměrem vepsané kružnice, která je opět vypočtena stejnou větou. To znamená, že AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
- Trojúhelníky ABC, ETS a AEF jsou na obou stranách stejné a úhel mezi nimi, což znamená rovnost stran AC, CE a EA.
Trojúhelníky, které se vzájemně protínají, tvoří nový hex a je také správný. Je to prokázáno jednoduše:
Úhel ABF je roven úhlu YOU. Výsledný trojúhelník se základnou AB a bezejmenným vrcholem naproti tomu je rovnoramenný.- Všechny stejné trojúhelníky, jejichž základna je stranou šestiúhelníku, jsou na boku a v rozích vedle ní stejné.
- Trojúhelníky u vrcholů šestiúhelníku jsou rovnostranné a stejné, což vyplývá z předchozího odstavce.
- Rohy nově vytvořeného šestiúhelníku jsou 360-120-60-60 = 120 °.
Obrázek tedy odpovídá charakteristikám pravidelného šestiúhelníku - má šest stejných stran a úhlů. Od rovnosti trojúhelníků u vrcholů je snadné odvodit délku strany nového šestiúhelníku:
d = a (√3) / 3
Bude to poloměr obvodu kolem něj. Poloměr vepsaného bude poloviční velikosti strany velkého šestiúhelníku, což bylo prokázáno při zvažování trojúhelníku ABC. Jeho výška je jen polovina strany, proto je druhá polovina poloměrem kruhu, který je napsán v malém šestiúhelníku:
r₂ = a / 2
Oblast nového šestiúhelníku lze vypočítat následovně:
S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2
Ukazuje se, že plocha šestiúhelníku uvnitř Davidovy hvězdy je třikrát menší než ta velká, ve které je hvězda napsána.
Od teorie k praxi
Vlastnosti šestiúhelníku jsou velmi aktivně využívány jak v přírodě, tak v různých oblastech lidské činnosti. Jedná se především o šrouby a matice - víčka prvního a druhého z nich nejsou ničím jiným než běžným šestihranem, pokud neberete v úvahu zkosení. Velikost klíčů odpovídá průměru vepsané kružnice - tj. Vzdálenosti mezi protilehlými plochami.
Hexagonální dlaždice také našel jeho použití. Je mnohem méně rozšířená než čtyřúhelníková, ale je vhodnější ji položit: na jednom místě se setkávají tři dlaždice, ne čtyři. Skladby mohou být velmi zajímavé:
K dispozici jsou také betonové dlažby.
Výskyt šestiúhelníků v přírodě je jednoduše vysvětlen. Tak, nejjednodušší způsob, jak pevně zapadnout kruhy a koule na rovině, pokud mají stejný průměr. Kvůli tomu mají voštiny takové formy.